بحث عن نظرية ذات الحدين وتوضيح شامل بالامثلة واهم التمارين، نظرية ذات الحدين من النظريات المهمة جداً في علم الرياضيات، وقد وضعها العالم نيوتن، وتتمثل في إيجاد قيمة متغيرات، والتوصل للقيمة الموسعة الخاصة بالتعبير الجبري المعروف (x + y) ^n، حيث يحتوي هذا التعبير الجبري على متغيرين، يرفع كليهما إلى قوة أو أس معين، ويكون من السهل معرفة هذه المتغيرات بتوزيع القوة الأسية؛ في هذه المقالة نضع بين أيديكم بحث عن نظرية ذات الحدين وتوضيح شامل بالامثلة واهم التمارين.
بحث عن نظرية ذات الحدين
نظرية ذات الحدين هي عبارة عن تعبير جبري يتم رفعه لقوة أسية معينة، ويكون علينا فك هذا التعبير الجبري من خلال توزيع هذه القوة الأسية على الحدود الجبرية من الصورة (ا+ب)^ن، وتستخدم هذه النظرية من أجل العمليات الجبرية الأولية، حيث يكون علينا فك ذوات الحدود ونحللها في حال كانت مرفوعة للقوة الثانية او الثالثة أو أي قوة أسية.
نظرياً يمكننا العمل على فك المعادلة الجبرية ذوات الحدين التي يتم رفعها لقوى كبيرة،ولهذا قام نيوتن بوضع نظرية ذات الحدين من أجل مساعدتنا على فك المعادلة الجبرية التي يتم رفعها لقوى أسية مختلفة.
صيغة نظرية ذات الحدين
نظرية ذات الحدين التي تستخدم تعبير جبري من حدين مرفوع إلى قوة أسية، بحيث تكون هذه القوة الأسية عدد صحيح، أي ليست كسراً، وتكون صيغة نظرية ذات الحدين:
n=3 ، (x – y) 3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
n=4 ، (x + y) 4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
مفكوك نظرية ذات الحدين توضيح شامل بالامثلة
تعتبر هذه النظرية من النظريات الرياضية المهمة التي وضعت الأساس للتعامل مع التعبيرات الجبرية التي لها حدين ورفعت لقوى أسية،ولكن علينا الانتباه في حالة كانت هذه المتغيرات في الحدود مضروبة في عدد ثابت؛ هنا نضع لكم مفكوك نظرية ذات الحدين توضيح شامل بالامثلة:
- (a+b)2=(a+b)×(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ba+ab+b2 =a2+2ab+b2
- لنجرب الآن مع n=3:
- (a+b)3=(a+b)2×(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b) =a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3 =a3+3a2b+3ab2+b3
- أخيرًا , دعونا نتحلى بالشجاعة ونجربها مع n=4:
- (a+b)4=(a+b)3×(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b) =a4+3a3b+3a2b2+ab3+a3b+3a2b2+3ab3+b4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
تمارين على نظرية ذات الحدين
تعمل نظرية ذات الحدين كأي معادلة رياضية، حيث ان لها حدين جبريين يختلف كل منهما عن الآخر، تربط بينهما عملية جمع او طرح، وتكون هذه العملية الجمع أو الطرح بين (أ، ب)، ويتم التعبير عنها بالرمز ن، حيث نعمل على تحليل وفك الأس ن الذي رفعت له هذه المعادلة، ويعرف الناتج باسم المفكوك الجبري لهذه الحدود، حيث نستخدم الحرف ن للتعبير عن القوة الأسية، والحرفين أ، ب للتعبير عن المتغيرات، ور لرمز المعادلة.
التباديل والتوافيق ونظرية ذات الحدين
يتم استخدام نظرية ذات الحدين من اجل تحليل أي معادلة جبرية رفعت لأي قوة او أس، حيث يتم توزيع الاحتمالات لجميع الحدود في المعادلة، ويتم وصف هذا التوزيع الناتج للحصول على تجربة، ليكون معامل الحدود الذي يتم استخدامه في المعادلات ذات الحدين، قد يؤدي إلى نتيجة لا نهائية، وتكون صورة التباديل والتوافيق ونظرية ذات الحدين مترافقين، فهي تعتمد عليهما في إيجاد الناتج:
مثال 1: جد المعامل ذي الحدين لـ C (5,3).
الحل:
C (n,r) = n! / (r! (n − r)!)
C (5,3) = 5! / (3! (5 − 3)!)
(5x4x3!) / (3!x2!)
5×4 / 2!
10
شاهد أيضاً: تنص نظرية الشغل والطاقة على ان الشغل يساوي
اثبات نظرية ذات الحدين
يمكن العمل على اثبات نظرية ذات الحدين التي وضعها العالم الرياضي الفيزيائي نيوتن من خلال عدة طرق، اهمها الاستقراء الرياضي، وذلك من خلال درجة الأس الموجود، ويكون عليك ملاحظة العوامل الموجود للحدود كيف ستصبح بعد نشر وتحليل المعادلة الجبرية وفكها، وما هو شكلها الأساسي الذي ستصبح عليه، حيث ان العوامل الموجود في نظرية ذات الحدين هي توافيق تم ترتيبها بشكل جيد، بدءاً من الصفر (ن ق 0) ، (ن ق 1) ، (ن ق 2) ، …. ، (ن ق ن)، وتذكر دائماً ان : (ن ق 0) = (ن ق ن) = 1.
اثبات نظرية ذات الحدين
- الآن : الصيغة العامة للنظرية:
- ن ن
(س+أ)^ن = سيجما ق أ^ك س^(ن-ك)
ك=0 ك- بوضعك ن = 0 او ن=1 تجد ان العلاقة صحيحة
يمكنك وضع ن=22 2 2
(س+أ)² = ق أ^0 س² + ق أ س + ق أ²
0 1 2- = س² + 2أس + أ² وهى علاقة صحيحة …
- والآن نفرض أن العلاقة صحيحة فى حال بدلنا
ن بـ ن+1 ونريد ان نصل الى الشكل التالى ..- ن+1 ن+1
(س+أ)^ن = سيجما ق أ^ك س^(ن+1-ك)
ك=0 ك- نأخذ الصيغة الأساسية و نضرب الطرفين فى (س+أ)
- ن ن
(س+أ)^(ن+1) = (س+أ) سيجما ق أ^ك س^(ن-ك)
ك=0 ك- ن ن ن ن
= سيجما ق أ^ك س^(ن+1-ك) + سيجما ق أ^(ك+1) س^(ن-ك)
ك=0 ك ك=0 ك- الآن نفصل الحد الأول من المجموع الأول والحد الأخير من المجموع الأخير
اى انك تأخذ الحد الذى فيه ك=0 من المجموع الأول، وتأخذ الحد الذى
فيه ك=ن فى المجموع الثانى، فينتج لدينا الآتى ..- ن ن ن ن
= سيجما ق أ^ك س^(ن+1-ك) + سيجما ق أ^ك س^(ن+1-ك)
ك=1 ك ك=1 ك-1- ن ن
+ ق س^(ن+1) + ق أ^(ن+1)
0 نشاهد أيضاً: تصف نظرية فيثاغورس العلاقة بين طولي الساقين والوتر في المثلث
بحث عن نظرية ذات الحدين وتوضيح شامل بالامثلة واهم التمارين، هذه النظرية الرياضية واسعة الاستخدام وضعت أساساً للمعادلات الجبرية ذات القوى المختلفة.